超不連結 (Extremally Disconnected) コンパクトHausdorff空間の圏におけるGrothendieck位相と層の条件

証明

(1 $\implies$ 2 の証明):
$S$ を超不連結空間とする。全射 $f: X \to Y$ と連続写像 $g: S \to Y$ が与えられたとする（$X, Y$ はコンパクトHausdorff空間）。 $\mathbf{CHaus}$ におけるファイバー積 $Z = S \times_Y X = \{ (s, x) \in S \times X \mid g(s) = f(x) \}$ を考える。$Z$ はコンパクト空間 $S \times X$ の閉部分集合であるから、コンパクトHausdorff空間となる。第1成分への射影 $p_1: Z \to S$ は、$f$ が全射であることから全射となる。 連続な持ち上げ $h: S \to X$ を見つけることは、$p_1$ の連続な切断 $s: S \to Z$ を見つけることと同値である（切断が得られれば、$X$ への射影との合成 $h = p_2 \circ s$ が求める持ち上げとなる）。

閉集合の族 $\mathcal{F} = \{ F \subset Z \mid F \text{ は閉集合であり, } p_1|_F: F \to S \text{ は全射} \}$ を考える。$\mathcal{F}$ は包含関係の逆順で帰納的順序集合となるため、Zornの補題により極小元 $M \in \mathcal{F}$ が存在する。このとき制限された写像 $p_1|_M: M \to S$ は既約全射 (irreducible surjection) である。すなわち、$M$ のいかなる真の閉部分集合 $F \subsetneq M$ に対しても $p_1(F) \neq S$ となる。

超不連結空間 $S$ への既約全射 $p_1|_M: M \to S$ は同相写像になることを示す。 背理法により、$p_1|_M$ が単射でないと仮定する。このとき、ある点 $s \in S$ に対し、相異なる $x_1, x_2 \in M$ で $p_1(x_1) = p_1(x_2) = s$ となるものが存在する。$M$ はHausdorff空間なので、交わらない開集合 $U_1, U_2 \subset M$ で $x_1 \in U_1, x_2 \in U_2$ となるものが存在する。 $M_1 = M \smallsetminus U_1$ および $M_2 = M \smallsetminus U_2$ と置くと、これらは $M$ の真の閉集合である。$M$ の既約性により $p_1(M_1) \neq S$ かつ $p_1(M_2) \neq S$ である。 しかし $M = M_1 \cup M_2$ であるから、$S = p_1(M) = p_1(M_1) \cup p_1(M_2)$ が成り立つ。

$A_1 = S \smallsetminus p_1(M_1)$ と $A_2 = S \smallsetminus p_1(M_2)$ を考える。これらはコンパクト空間の閉像の補集合であるから $S$ の開集合であり、かつ $S = p_1(M_1) \cup p_1(M_2)$ より $A_1 \cap A_2 = \varnothing$ を満たす。 $S$ は超不連結空間であるため、$A_1$ の閉包 $\overline{A_1}$ は開かつ閉 (clopen) 集合となる。さらに $A_1 \cap A_2 = \varnothing$ かつ $A_2$ が開集合であることから、$\overline{A_1} \cap A_2 = \varnothing$ である。したがって、$\overline{A_1} \subset S \smallsetminus A_2 = p_1(M_2)$ が成り立つ。 一方、定義より $A_1 \subset S \smallsetminus p_1(M_1)$ であるから、補集合をとることで $p_1(M_1) \subset S \smallsetminus A_1$ となり、さらに $S \smallsetminus A_1$ は閉集合であるため $p_1(M_1) \subset S \smallsetminus \overline{A_1}$ を得る。

ここで、 $M$ の新しい部分集合 $M' = (M_1 \cap p_1^{-1}(S \smallsetminus \overline{A_1})) \cup (M_2 \cap p_1^{-1}(\overline{A_1}))$ を考える。これは $M$ の閉集合 of closed sets の和であるから閉集合である。 $p_1(M_1) \subset S \smallsetminus \overline{A_1}$ かつ $\overline{A_1} \subset p_1(M_2)$ であることから、$p_1(M') = (S \smallsetminus \overline{A_1}) \cup \overline{A_1} = S$ となり、$M' \in \mathcal{F}$ が従う。 しかし、 $M' \subset M \smallsetminus (U_1 \cap p_1^{-1}(\overline{A_1})) \smallsetminus (U_2 \cap p_1^{-1}(S \smallsetminus \overline{A_1}))$ であり、$A_1 \subset \overline{A_1}$ などの関係から $M'$ は $M$ の真の閉部分集合となる。これは $M$ の極小性に矛盾する。 したがって $p_1|_M$ は単射であり、コンパクトHausdorff空間への連続全単射であるから同相写像である。その逆写像 $(p_1|_M)^{-1}: S \to M \subset Z$ が求める切断 $s$ を与える。

(2 $\implies$ 3 の証明):
$S$ 自身への恒等射 $\mathrm{id}_S: S \to S$ と、与えられた連続全射 $p: X \to S$ を考える。$S$ は $\mathbf{CHaus}$ において射影的であるため、 $p \circ s = \mathrm{id}_S$ を満たす連続写像 $s: S \to X$ が存在する。これは切断の定義そのものである。

(3 $\implies$ 1 の証明):
$S$ の任意の開集合 $U \subset S$ をとる。$S$ に離散位相を与えた空間を $S_d$ とし、そのStone-Čechコンパクト化 $\beta S_d$ を考える。自然な連続全射 $p: \beta S_d \to S$ が存在する。 条件3の仮定により、 $p$ は連続な切断 $s: S \to \beta S_d$ を持ち、$p \circ s = \mathrm{id}_S$ を満たす。 一般に、離散空間のStone-Čechコンパクト化 $\beta S_d$ は超不連結空間であることが知られている。したがって、 $\beta S_d$ 内において開集合 $p^{-1}(U)$ の閉包 $\overline{p^{-1}(U)}$ はclopen集合である。 連続写像による閉包の引き戻しの性質および $p \circ s = \mathrm{id}_S$ から、 $S$ における $U$ の閉包 $\overline{U}$ は $\overline{U} = s^{-1}(\overline{p^{-1}(U)})$ と表される。 $\overline{p^{-1}(U)}$ はclopen集合であり、 $s$ は連続写像であるから、その原像である $\overline{U}$ も $S$ のclopen集合（よって開集合）となる。したがって $S$ は超不連結である。

証明

$S \in \mathbf{Extr}$ とし、$\{f_i: S_i \to S\}_{i=1}^n$ を有限共同全射族（$\bigcup_{i=1}^n f_i(S_i) = S$）とし、これが生成するsieveを $S_{\mathrm{gen}}$ とする。また、 $R$ を $S_{\mathrm{gen}} \subset R$ を満たす任意の被覆sieveとする。
いま、 $R$ に対する任意のマッチングファミリー（整合的な族） $(x_g)_{g \in R}$（ただし $g: Y \to S \in R$ に対して $x_g \in T(Y)$ であり、任意の合成に対して $T(h)(x_g) = x_{g \circ h}$ を満たすもの）が与えられたとき、これらを一意に持ち上げる元 $x \in T(S)$ が存在することを示す。

ステップ 1: 制限による断面 $x \in T(S)$ の存在と一意性
包含関係 $S_{\mathrm{gen}} \subset R$ より、 $R$ のマッチングファミリー $(x_g)_{g \in R}$ を部分sieve $S_{\mathrm{gen}}$ に制限した族 $(x_g)_{g \in S_{\mathrm{gen}}}$ もまた、 $S_{\mathrm{gen}}$ に対するマッチングファミリーとなる。
有限共同全射族 $\{f_i: S_i \to S\}_{i=1}^n$ に対し、自然な全射連続写像 $p: \coprod_{i=1}^n S_i \to S$ を考える。 $S$ は超不連結であるため、Gleasonの定理（命題1）の条件3より $p$ は分裂する。すなわち、連続写像 $s: S \to \coprod_{i=1}^n S_i$ が存在して $p \circ s = \mathrm{id}_S$ を満たす。
$\coprod S_i$ は空間の有限直和であるため、関手 $T$ が有限直和を直積に移す性質により $T(\coprod S_i) \cong \prod T(S_i)$ が成り立つ。この直和の各包含写像を $\mathrm{in}_i: S_i \to \coprod S_i$ とすると、定義より $p \circ \mathrm{in}_i = f_i \in S_{\mathrm{gen}}$ である。
ここで、各 $i$ に対する $x_{f_i} \in T(S_i)$ の組 $(x_{f_1}, \dots, x_{f_n})$ は、直積の同型写像を通じて $\coprod S_i$ 上の唯一の元 $x_{\coprod} \in T(\coprod S_i)$ を定める。これに対し、分裂写像 $s$ による引き戻しとして、次のように元 $x \in T(S)$ を定義する： $$x := T(s)(x_{\coprod}) \in T(S)$$ この $x$ は、関手 $T$ が有限直和を直積に移す性質のもとで、部分sieve $(x_g)_{g \in S_{\mathrm{gen}}}$ を一意に持ち上げる元となる。すなわち、任意の $g \in S_{\mathrm{gen}}$ への制限に対して以下が成立する： $$\forall g \in S_{\mathrm{gen}}, \quad T(g)(x) = x_g$$

ステップ 2: 任意の $g \in R$ に対する整合性の証明（拡張）
ステップ1で得られた同じ元 $x \in T(S)$ が、 $S_{\mathrm{gen}}$ に属さない射も含めた任意の $g: Y \to S \in R$ に対しても $T(g)(x) = x_g$ を満たすことを示す。

1. 空間 $S$ のクロープン分解：
ステップ1の分裂写像 $s: S \to \coprod_{i=1}^n S_i$ を用いる。各 $S_i$ は $\coprod S_i$ の開かつ閉（クロープン）な部分空間であるため、その $s$ による逆像 $U_i := s^{-1}(S_i)$ もまた $S$ のクロープン部分空間となる。これらは互いに素であり、全体で $S$ を覆うため、 $S$ は次のように有限直和分解される： $$S = \coprod_{i=1}^n U_i$$ 各包含写像を $\iota_i: U_i \to S$ とすると、定義より $\iota_i = p \circ s \circ \iota_i$ は $S_i$ を経由する。したがって、sieve の定義（右合成に関する安定性）から **$\iota_i \in S_{\mathrm{gen}}$** となる。

2. ドメイン $Y$ のクロープン分解：
任意の射 $g: Y \to S \in R$ を固定する（$Y \in \mathbf{Extr}$）。上記 $S$ のクロープン分解を用いて、 $Y$ の部分空間 $V_i := g^{-1}(U_i)$ を定義する。これらも $Y$ のクロープン集合であり、 $Y$ の次の直和分解を与える： $$Y = \coprod_{i=1}^n V_i$$ 各包含射を $j_i: V_i \to Y$ とする。

3. sieve の引き戻し特性の利用：
制限された射 $g \circ j_i: V_i \to S$ を考える。この写像の像は $U_i$ に含まれるため、包含射 $\iota_i: U_i \to S$ を経由する。すなわち、ある連続写像 $g_i: V_i \to U_i$ が存在して $g \circ j_i = \iota_i \circ g_i$ と書ける。 $\iota_i \in S_{\mathrm{gen}}$ であり、 $S_{\mathrm{gen}}$ は sieve（右合成について安定）であるため、前合成について閉じており、**$g \circ j_i \in S_{\mathrm{gen}}$** となる。また、 $S_{\mathrm{gen}} \subset R$ より当然 $g \circ j_i \in R$ である。

4. 各成分での一致の確認：
$(x_g)_{g \in R}$ は $R$ のマッチングファミリーであるため、包含射 $j_i: V_i \to Y$ に対し $g \in R \implies g \circ j_i \in R$ であることから次が成り立つ： $$T(j_i)(x_g) = x_{g \circ j_i}$$ 一方、 $g \circ j_i \in S_{\mathrm{gen}}$ であるため、ステップ1における $x$ の定義（一意持ち上げの性質）より、次が成り立つ： $$x_{g \circ j_i} = T(g \circ j_i)(x) = T(j_i)(T(g)(x))$$ これらを組み合わせると、すべての成分 $i = 1, \dots, n$ について次の一致を得る： $$T(j_i)(x_g) = T(j_i)(T(g)(x))$$

5. 直和条件による結論：
関手 $T$ は条件(i)により有限直和を直積に移すため、包含射の族 $\{j_i: V_i \to Y\}_{i=1}^n$ に対応する自然な写像： $$T(Y) \xrightarrow{\ \prod T(j_i)\ } \prod_{i=1}^n T(V_i)$$ は全単射であり、特に単射である。すべての成分 $i$ において写像した値が一致しているため、元のドメイン $T(Y)$ の元としても完全に一致しなければならない。すなわち、 $$x_g = T(g)(x)$$ が任意の $g \in R$ に対して成立することが証明された。

ステップ 3: 一意性
持ち上げ $x \in T(S)$ の一意性は、すでに部分sieve $S_{\mathrm{gen}}$ への制限の段階（ステップ1）で完全に保証されている（$S_{\mathrm{gen}}$ において一致させるための元は一意であるため、それを含むより大きな $R$ において一致させる元が複数存在することはあり得ない）。したがって、 $R$ 全体に対しても当然一意である。